Brevemente

El número polidivisible

El número polidivisible

A ver si eres capaz de encontrar un número de nueve dígitos que cumpla las siguientes condiciones:

  • Todos los dígitos del 1 al 9 deben aparecer una única vez
  • El número debe ser divisible entre 9
  • Si eliminamos el último dígito de la derecha, el número debe ser divisible entre 8
  • Si eliminamos los dos últimos dígitos de la derecha, el número debe ser divisible entre 7
  • Si eliminamos los tres últimos dígitos de la derecha, el número debe ser divisible entre 6
  • Si eliminamos los cuatro últimos dígitos de la derecha, el número debe ser divisible entre 5
  • Si eliminamos los cinco últimos dígitos de la derecha, el número debe ser divisible entre 4
  • Si eliminamos los séis últimos dígitos de la derecha, el número debe ser divisible entre 3
  • Si eliminamos los siete últimos dígitos de la derecha, el número debe ser divisible entre 2
  • Si eliminamos los ocho últimos dígitos de la derecha, el número debe ser divisible entre 1

Solución

Llamemos al número ABCDEFGHI donde cada letra representará un dígito distinto. Está claro que los dígitos B, D, F y H deben ser pares ya que se corresponden con el último dígito de los números que deben ser divisibles por números pares (2, 4, 6 y 8). El resto serán por lo tanto dígitos impares ya que sabemos que debe incluir todos los números del 1 al 9.

Dado que ABCDE es divisible entre 5, sabemos que E tiene que ser igual a 5.

Como ABCD es divisible entre 4, también se cumplirá que CD será divisible entre 4 y GH será divisible entre 8 (ya que FGH será divisible entre 8 y F es par).

Debido a que C y G son impares, D y H deben ser 2 y 6 aunque no necesariamente, en este orden.

Sabemos que ABC es divisible entre 3, que ABCDEF es divisible entre 6 y por lo tanto también entre 3 y que ABCDEFGHI es divisible entre 9 y por consiguiente también entre 3 de forma que se cumplirá que A+B+C, D+E+F y G+H+I son divisibles entre tres.

Si suponemos por ejemplo D = 2, entonces se cumpliría que F = 8, H = 6 y B = 4. A+4+C es divisible por 3, por lo tanto, A y C deben ser 1 y 7 o viceversa y G e I deben ser de 3 y 9 o al revés. GH es divisible entre 8, por lo tanto se tiene que cuplir que G = 9 y de la conclusión anterior obtenemos que I = 3. En este caso los posibles números 1472589 y 7412589 no son divisibles entre 7. Por lo tanto se tiene que cumplir que D = 6 de donde deducmimos que F = 4, H = 2, B = 8.

G+2 es divisible entre 8, por lo tanto, G sólo puede ser 7 ó 3.

A+8+C es divisible entre 3 y por lo tanto los valores de A y C deben ser uno 1 ó 7 y el otro 3 ó 9.

Si suponemos por ejemplo G = 3, entonces A o C debe ser 9 y el otro debe ser 1 ó 7. Pero ninguno de los números 1896543, 7896543, 9816543 y 9876543 son divisibles por 7. Por lo tanto G = 7 y entonces A o C debe ser igual a 1 y el otro 3 ó 9. De los posibles números 1836547, 1896547, 3816547 y 9816547, 3816547 sólo este último es divisible por 7 (el cociente es 545221). Por lo tanto, el número que estamos buscando es 381654729.

Puedes encontrar más información sobre números polidivisibles en la Wikipedia.